El presente ensayo es el quinto hasta la fecha de nuestro Proyecto Borges, iniciado en 2014. Dicho proyecto consiste en estudiar textos de Borges desde un ángulo matemático y consignar nuestras conclusiones en artículos indisciplinarios donde destacamos el vínculo concreto entre la literatura de Borges y las matemáticas. Este artículo ha sido precedido por:
“El infinito en el poema
‘Hengist quiere hombres’ de J.L.Borges: Una perspectiva
interdisciplinaria” (2015),
[1]
“El infinito en aplicaciones de
probabilidades y estadística vinculadas a ‘Los dos reyes y los dos
laberintos’, de J.L. Borges.”(2015),
“Variable aleatoria discreta o
la aberración de las matemáticas en ‘Tigres azules’ y los límites del
lenguaje en ‘El espejo y la máscara’ de Jorge Luis Borges” (2014), y
“La visión de la geometría, el
espacio y el tiempo en el poema metafísico ‘Descartes’ de Jorge Luis
Borges. Una perspectiva interdisciplinaria.” (2014).
[2]
Nuestro objetivo primordial en el presente ensayo es comentar el poema de Borges llamado: “Poema de la cantidad.” Como podemos observar, ya desde el título este poema nos remite al mundo sibilino y fascinante de las matemáticas. Nuestro análisis del poema será hecho a la luz de la topología y específicamente de los espacios topológicos. Incluiremos también algunas líneas concernientes al espacio de Hausdorff.
Veamos a continuación el intrincado y prometedor universo que Borges nos brinda en su mentado poema:
Poema de la cantidad
Pienso en el parco cielo puritano
de solitarias y perdidas luces
que Emerson miraría tantas noches
desde la nieve y el rigor de Concord.
Aquí son demasiadas las estrellas.
El hombre es demasiado. Las innúmeras
generaciones de aves y de insectos,
del jaguar constelado y de la sierpe,
de ramas que se tejen y entretejen,
del café, de la arena y de las hojas
oprimen las mañanas y prodigan
su minucioso laberinto inútil.
Acaso cada hormiga que pisamos
es única ante Dios, que la precisa
para la ejecución de las puntuales
leyes que rigen su curioso mundo.
Si así no fuera, el universo entero
sería un error y un oneroso caos.
los espejos del ébano y del agua,
el espejo inventivo de los sueños,
los líquenes, los peces, las madréporas,
las filas de tortugas en el tiempo,
las luciérnagas de una sola tarde,
las dinastías de las araucarias,
las perfiladas letras de un volumen
que la noche no borra, son sin duda
no menos personales y enigmáticas
que yo, que las confundo. No me atrevo
a juzgar la lepra o a Calígula
La voz poética en este emblemático poema, está en primera persona y en el presente del modo indicativo y desde la omnisciencia nos interpela como si estuviera representando al ser humano en general, al filósofo, o al matemático, más precisamente, a aquél que vislumbra el mundo desde una perspectiva numérica. El poema empieza con nada menos el verbo “pensar” en el presente del indicativo en primera persona singular: “pienso.” El poema nos dice en su primer verso: “Pienso en el parco cielo puritano.” Todos los demás versos del poema son una lista de lugares y elementos que se asocian a cantidades. Es como si la voz poética bajo una mirada filosófica compartiera su visión de mundo; en este caso se trataría de un mundo dominado por las matemáticas.
De hecho, el hermoso “Poema de la cantidad,” nos presenta, en efecto, muchas connotaciones numéricas; como su nombre bien lo señala. A saber, desde los primeros versos hay alusiones a cantidades: “parco cielo,” luego la voz poética nos dice: “perdidas luces,” y el adjetivo ‘perdidas’ nos hace pensar en luces dispersas, varias. Luego, la voz poética afirma “tantas noches,” donde una vez más, el adjetivo ‘tantas’ nos remite a algún número grande sin precisar a cuál. Más adelante tenemos: “demasiadas las estrellas,” nuevamente, el adjetivo ‘demasiadas’ alude a un número significativo sin decir cuál es. Así sucesivamente tenemos muchos vocablos -sean adjetivos, sustantivos, adverbios, o incluso verbos- que nos colocan en un contexto numérico y sin embargo impreciso: adrede, por ejemplo: ‘demasiado,’ ‘innúmeras,’ ‘tejen y entretejen.’ La voz poética se servirá también de sustantivos para connotar cantidad porque en su mayoría los sustantivos están en plural o implican una colectividad; por ejemplo: aves, insectos, ramas, hojas, arena, mañanas, hormiga, luciérnagas, dinastías, espejos, líquenes, peces, sueños, madréporas, tortugas, letras.
Borges se sirve de la enumeración lírica en apariencia caótica y siempre hermosa para ir dibujándonos un universo particular que nos invita a considerar el infinito como posibilidad, a cuestionar la realidad existencial barajando diversas e incontables incógnitas fascinantes.
Es sumamente interesante observar que en el “Poema de la cantidad,” la voz poética además de mencionar al escritor norteamericano Ralph Waldo Emerson (1803–1882), uno de los predilectos de Borges, evoca también a Dios y a Calígula (Cayo Julio César Augusto Germánico) , nieto del no menos temible emperador Nerón.
El poema nos dice así sobre el escritor Emerson:
Pienso en el parco cielo puritano
de solitarias y perdidas luces
que Emerson miraría tantas noches
La voz poética, por tanto, se ubica en la naturaleza pensando en Emerson y en el cielo que éste miraría en múltiples e insistentes noches buscando inspiración o interrogándose sobre los avatares del mundo sin fronteras metafísicas, o acaso asaltado por pensamientos escatológicos.
Y la voz poética se refiere también a Dios en los siguientes versos:
“Acaso cada hormiga que pisamos
es única ante Dios, que la precisa
para la ejecución de las puntuales
leyes que rigen su curioso mundo.”
Como vemos, Dios es mentado en el poema para asociarlo a su omnipotencia; pero también para hacer sorna del mundo estructurado por él; un mundo “curioso,” que en el contexto del poema puede connotar un mundo sin sentido donde cada elemento está en su lugar pero sin que este orden aparentemente meticuloso y férreo tenga ninguna repercusión transcendental, y acaso tampoco ninguna finalidad existencial.
Y en los últimos versos del poema la voz poética alude a la lepra y el poema concluye mentando a Calígula de la siguiente manera:
“[…]las perfiladas letras de un volumen
que la noche no borra, son sin duda
no menos personales y enigmáticas
que yo, que las confundo. No me atrevo
a juzgar la lepra o a Calígula.”
La voz poética se rinde ante el caos y la confusión del mundo hasta el punto de sentirse incapaz de tener una postura crítica frente a una enfermedad seria, antigua y consignada en la Biblia, como la lepra. La última oración del poema de hecho hace la equivalencia entre dicha enfermedad y Calígula; símbolo de la crueldad. La voz poética se siente impotente para tomar partido porque no puede juzgar lo que parecería obvio en tanto lugar común histórico evocado solamente por su naturaleza nefasta. La voz poética no puede decidir que lo que a todas luces es obviamente pernicioso sea realmente de tal calaña. La voz poética percibe el universo en tanto un espacio enigmático donde los elementos se confunden, y por consiguiente, y como lo constata directamente en el último verso: no se atreve a juzgar ni una enfermedad ominosa, ni al sanguinario emperador romano, paradigma de la crueldad, cuyas atrocidades hicieran estremecer de espanto los confines del Imperio Romano.
El propósito específico de nuestro artículo es el de cuantificar algunos de los hermosos conceptos de Borges en este poema que bien se pueden aplicar a los espacios topológicos. Esta conexión ayuda a los matemáticos a apreciar mejor la literatura y a los lectores, a su vez, a apreciar más las matemáticas. De esta manera estaríamos hablando de un matrimonio perfecto donde ambas partes se complementan para su mutua conveniencia y crecimiento intelectual.
Como hemos señalado, el poema comienza con:
“Pienso en el parco cielo puritano de solitarias y perdidas luces […]”
En estos versos encontramos dos conceptos topológicos. Primero un espacio topológico y los elementos en ese espacio. Definamos pues lo que es un espacio topológico, sus elementos y lo que son conjuntos abiertos. Después diremos de qué manera este poema de la cantidad, satisface las condiciones matemáticas necesarias.
Puestos a consignar conceptos, precisemos que la rama de las matemáticas que estudia los espacios topológicos es la topología. “Topos” viene del griego: τόπος, 'lugar', y λόγος, 'estudio'. Un espacio topológico es una estructura matemática que nos posibilita a definir formalmente conceptos tales como: conectividad, vecindad, convergencia empleando subconjuntos de un conjunto dado.
Llamamos “espacio localmente conexo,” a un espacio topológico que satisface que todo punto posee una base de entornos que son conexos. Al hablar de conjunto abierto nos referiremos a un conjunto en el que todos y cada uno de sus elementos están también rodeados por otros elementos que también pertenecen al conjunto. Las variedades, al igual que los espacios métricos (o espacios normados) son espacios topológicos con estructuras y restricciones propias.
Veamos pues, que la topología se ocupa de los conceptos de proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que tiene un objeto, comparar objetos y clasificar una variedad de atributos donde destacan: conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, entre otros.
En matemáticas se usa la palabra “topología” de dos maneras: de una manera informal y general, y también de una manera formal y más específica cuando se refiere a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado.
Un espacio topológico, específicamente sería un par ordenado tal como (X, T), donde X es un conjunto y T es una colección de subconjuntos donde X satisface las siguientes condiciones o axiomas:
1. Un conjunto vacío y X también pertenecen a T
2. Cualquier unión finita o infinita de miembros de Τ pertenece a T.
A los elementos de la colección T se les llama topología sobre X. Nos referimos a X, como a un espacio topológico porque hemos dado una topología (T) en él. A sus elementos los llamaremos conjuntos abiertos de (X, T).
Veamos algunos ejemplos:
1. Topología discreta. Sea X un conjunto; consideremos la familia T = P(X), formada por
todos los subconjuntos de X. Esta familia es una topología en la que cualquier subconjunto de X es un conjunto abierto y se llama topología discreta, en este caso decimos que (X,P(X)) es un espacio topológico discreto.
2. Topología indiscreta. Si consideramos ahora la familia {Ø,X} cuyos únicos conjuntos son el vacío y el propio X, también constituye una topología sobre X que llamaremos topología gruesa,indiscreta o trivial.
Pongamos por enunciado o lema lo siguiente: “[…] el parco cielo puritano […]” es un espacio topológico.
Para poder probar que “el parco cielo puritano” es un espacio topológico, primero debemos definir todo el espacio y los conjuntos abiertos. La voz poética menciona que este cielo parco y puritano está lleno de “solitarias y perdidas luces” y entonces vamos a asumir que “el parco cielo puritano” solamente se refiere a lo que el poeta puede ver. Entonces, X = a la parte del cielo que el poeta puede ver. Luego vamos a definir los conjuntos abiertos como un círculo que puede dibujarse alrededor del “planeta” por los ojos que observan y a este conjunto llamaremos: T
El conjunto vacío y X pertenecen a T. Esto es trivialmente verdadero. Cualquier unión (finita o infinita) de miembros de T pertenece a T. Porque cualquier grupo de dos o más “planetas” todavía pertenece a X. La intersección de cualquier número finito de miembros de T sigue perteneciendo a T. Desde que dos planetas tomados juntos, i.e. chocan, están todavía en el cielo (puritano, dibujado por Borges).
Ahora que hemos establecido que estamos realmente hablando de un espacio topológico, podemos cuantificar la jornada a la que el poeta nos lleva en términos de espacio topológico. Para poder hacer esto, debemos consignar una definición más: el espacio Hausdorff, llamado así en honor al matemático alemán: Felix Hausdorff (1868-1938); uno de los fundadores de la topología moderna.
Un espacio Hausdorff es un espacio topológico en el cual, dados dos elementos cualquiera, A y B, un conjunto abierto puede crearse del punto A y B, tal que los entornos (o vecindarios) están completamente separados entre sí. Dicho de otra manera, un espacio Hausdorff es un espacio topológico en el que puntos distintos tienen entornos disjuntos. La definición original de Hausdorff de un espacio topológico incluía también como axioma la propiedad de Hausdorff. Podemos decir, simplificando, que todo espacio métrico (y por ende normado) es un espacio Hausdorff.
Con esto en mente podemos fácilmente ver que “el parco cielo puritano” también es un espacio Hausdorff desde que dos entornos (o vecindades) abiertos pueden dibujarse al lado de dos “planetas” en el cielo que no se intersecan.
Este concepto es explorado más adelante cuando Borges escribe:
”[…]desde la nieve y el rigor de Concord.
Aquí son demasiadas las estrellas.
El hombre es demasiado […]”
Borges en su poema, aparentemente, lamenta la nueva realidad alejada de los cielos solitarios; pero veamos por qué. ¿Qué hay de distinto en este nuevo espacio? Si dejamos X = ‘la nieve y el rigor de Concord’ podemos realmente ver que éste es también un espacio topológico. Sin embargo, este espacio no es un espacio de Hausdorff ya que tiene como elemento la nieve que constantemente está derritiéndose y mezclándose con otros copos de nieve. Como resultado de esto no podemos definir entornos o vecindarios (círculos visuales) alrededor de cada copo de nieve que no se interseca. La voz poética nos presenta como poderosa sugerencia que esta propiedad también se aplicará a los innumerables hombres en la superficie terráquea y a las estrellas en el firmamento.
Borges continua hablándonos de espacios topológicos que no son espacios Hausdorff, veamos:
“[…] de
ramas que se tejen y entretejen,
del café, de la arena y de las hojas
oprimen las mañanas y prodigan
su minucioso laberinto inútil […]”.
Luego, el concepto de espacio Hausdorff regresa cuando la voz poética afirma:
“Acaso
cada hormiga que pisamos
es única ante Dios, que la precisa
para la ejecución de las puntuales
leyes que rigen su curioso mundo.”
En general podemos decir que el resto del poema refuerza la noción de espacio que no es Hausdorff.
Borges expresa en su poema que un universo sin las leyes de Dios:
“sería un error y un onerosos caos”. El orden y la estructura del mundo son entonces, de acuerdo al poema, necesarios para el funcionamiento del universo; para ese “curioso mundo.” A pesar del orden y las leyes divinas que permiten hallar un sentido a la enumeración tan dispersa de elementos que encontramos en el poema. Recordemos, sin embargo, que no obstante esas leyes divinas, el poema termina con un verso contundente; pero enigmático: “No me atrevo a juzgar la lepra o a Calígula.”
Borges evoca en el poema que nos ocupa, elementos francamente dispersos que aluden a cantidades imprecisas. El poema nos habla de colectividades o pluralidades sin indicar cantidades exactas. Según Aristóteles, en el libro quinto de su Metafísica, capítulo XIII, la definición de cantidad es la siguiente:
“Cantidad se dice de lo que es divisible en elementos constitutivos, de los que alguno, o todos, es uno, y tienen por naturaleza una existencia propia. La pluralidad es una cantidad cuando puede contarse; una magnitud cuando puede medirse.”
Como sabemos, Aristóteles reconoce diez categorías y entre ellas está la cantidad. Para Aristóteles, la cantidad sería una determinación de las cosas. Dicha determinación puede dividirse ya sea mental o realmente en partes iguales u homogéneas, o diferentes o heterogéneas. Aristóteles también afirma en el capítulo XIII del libro quinto de su Metafísisca que:
“Entre las cosas que son cantidades por sí mismas, hay unas que lo son por su esencia, la línea, por ejemplo, porque la cantidad entra en la definición de la línea; otras no lo son sino como modos, estados de la cantidad; como lo mucho y lo poco, lo largo y lo corto, lo ancho y lo estrecho, lo profundo y su contrario, lo pesado y lo ligero y las demás cosas de este género. Lo grande y lo pequeño, lo mayor y lo menor, considerados, ya en sí mismos, ya en sus relaciones, son igualmente modos esenciales de la cantidad.”
Consideramos que las palabras convocadas en el poema de Borges son muy expresivas no solamente por la variedad de elementos mencionados y las cantidades que nos evocan sino también por su exquisito lirismo. Afirmamos también que algunos de los sustantivos y adjetivos mencionados en el poema nos sugieren pensar en el infinito. Por ejemplo cuando la voz poética nos dice: “Las innúmeras generaciones de aves y de insectos […]”.
Es importante puntualizar que en este poema de la cantidad, Borges empieza señalando una actitud abiertamente reflexiva: “Pienso en el parco cielo puritano,” y luego hace una larga enumeración de lugares y elementos que nos invitan a pensar no sólo en un universo regido por números, cantidades, colectividades, y agrupaciones que aparentemente no tienen conexión entre sí; pero que dibujan un mundo acaso caótico, variado, enigmático y difícil de estructurar. No en vano la última línea del poema nos dice: “No me atrevo a juzgar la lepra o a Calígula.” El poeta no se siente capaz de juzgar lo que a todas luces sería fácil de juzgar como condenable y pernicioso. ¿Intenta acaso Borges decirnos que el universo es un enigma?
Ver, además:
[1] El infinito en el poema “Hengist quiere hombres", de Jorge Luis Borges - Una perspectiva interdisciplinaria - co autor Stephen Kcenich
[2] La visión de la geometría, el espacio, y el tiempo en el poema metafísico “Descartes” de Jorge Luis Borges.- Una perspectiva interdisciplinaria - co autor Stephen Kcenich
